题目内容
已知关于x的一元二次方程2x2+2mx+m2+2m-6=0（m∈R）有实根x1，x2；（1）求m的取值范围；
（2）设f（m）=x12+x1x2+x22，求f（m）的最大值和最小值．
【答案】分析：（1）利用判别式大于等于0，可得不等式，即可求m的取值范围；
（2）利用韦达定理，结合配方法，即可求f（m）的最大值和最小值．
解答：解：（1）∵一元二次方程2x2+2mx+m2+2m-6=0（m∈R）有实根x1，x2，
∴△=4m2-8（m2+2m-6）≥0
∴m2+4m-12≤0
∴-6≤m≤2
（2）x1+x2=-m，x1x2=
（m2+2m-6）
∴f（m）=x12+x1x2+x22=（x1+x2）2-x1x2=m2-
（m2+2m-6）=
∵-6≤m≤2，
∴m=-6时，取得最大值27，m=1时，取得最小值
．
点评：本题考查方程的根，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
（2）利用韦达定理，结合配方法，即可求f（m）的最大值和最小值．
解答：解：（1）∵一元二次方程2x2+2mx+m2+2m-6=0（m∈R）有实根x1，x2，
∴△=4m2-8（m2+2m-6）≥0
∴m2+4m-12≤0
∴-6≤m≤2
（2）x1+x2=-m，x1x2=
（m2+2m-6）∴f（m）=x12+x1x2+x22=（x1+x2）2-x1x2=m2-
（m2+2m-6）=∵-6≤m≤2，
∴m=-6时，取得最大值27，m=1时，取得最小值
．点评：本题考查方程的根，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
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