Question

如图,经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M、N (异于村庄A),要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米).如何设计, 可以使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．

Answer 1

参考解析

试题分析：假设角AMN的值为θ，由三角形AMN中角NAM为.由正弦定理可得到AM的表达式，在三角形AMP中利用余弦定理表示出AP的值，由角θ的取值范围，再根据三角函数的单调性知识即可得到结论.本小题用了五种解法分别从三角，坐标系，圆等方面入手.
解法一：设∠AMN＝θ，在△AMN中，＝．
因为MN＝2,所以AM＝sin(120°－θ）．       2分
在△APM中,cos∠AMP＝cos(60°＋θ).       4分
AP²＝AM²＋MP²－2 AM·MP·cos∠AMP＝sin²(120°－θ)＋4－2×2×sin(120°θ）cos(60°＋θ）                   6分
＝sin²(θ＋60°)－sin(θ＋60°）cos(θ＋60°)＋4
＝[1－cos (2θ＋120°)]－sin(2θ＋120°)＋4
＝－[sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋
＝－sin(2θ＋150°),θ∈(0,120°)．              10分
当且仅当2θ＋150°＝270°,即θ＝60°时,AP²取得最大值12,即AP取得最大值2.
答：设计∠AMN为60°时,工厂产生的噪声对居民的影响最小．       12分

解法二(构造直角三角形)：
设∠PMD＝θ,在△PMD中,
∵PM＝2,∴PD＝2sinθ,MD＝2cosθ.     2分
在△AMN中,∠ANM＝∠PMD＝θ,∴＝,
AM＝sinθ,∴AD＝sinθ＋2cosθ,(θ≥时,结论也正确).     4分
AP²＝AD²＋PD²＝(sinθ＋2cosθ)²＋(2sinθ)²
＝sin²θ＋sinθcosθ＋4cos²θ＋4sin²θ             6分
＝·＋sin2θ＋4＝sin2θ－cos2θ＋
＝＋sin(2θ－),θ∈(0,).          10分
当且仅当2θ－＝，即θ＝时，AP²取得最大值12，即AP取得最大值2．
此时AM＝AN＝2,∠PAB＝30°            12分
解法三：设AM＝x,AN＝y,∠AMN＝α.
在△AMN中,因为MN＝2,∠MAN＝60°,
所以MN²＝AM²＋AN²－2 AM·AN·cos∠MAN,
即x²＋y²－2xycos60°＝x²＋y²－xy＝4.          2分
因为＝,即＝,
所以sinα＝y,cosα＝＝＝.         4分
cos∠AMP＝cos(α＋60°)＝cosα－sinα＝·－·y＝. 6分
在△AMP中,AP²＝AM²＋PM²－2 AM·PM·cos∠AMP,
即AP²＝x²＋4－2×2×x×＝x²＋4－x(x－2y)＝4＋2xy.        10分
因为x²＋y²－xy＝4,4＋xy＝x²＋y²≥2xy,即xy≤4.
所以AP²≤12,即AP≤2.
当且仅当x＝y＝2时,AP取得最大值2.        
答：设计AM＝AN＝2 km时,工厂产生的噪声对居民的影响最小．      12分
解法四(坐标法)：以AB所在的直线为x轴,A为坐标原点,建立直角坐标系.
设M(x₁,0),N(x₂, x₂),P(x₀,y₀).∵MN＝2,
∴(x₁－x₂)²＋3x₂²＝4.          2分
MN的中点K(,x₂)．
∵△MNP为正三角形,且MN＝2,∴PK＝,PK⊥MN,
∴PK²＝(x₀－)²＋(y₀－x₂)²＝3,
k_MN·k_PK＝－1,即·＝－1,      4分
∴y₀－x₂＝ (x₀－),∴(y₀－x₂)²＝ (x₀－)²
∴(1＋)(x₀－)²＝3,即 (x₀－)²＝3,∴(x₀－)²＝x₂²．
∵x₀－＞0  ∴x₀－＝x₂,
∴x₀＝x₁＋2x₂,∴y₀＝x₁．                          6分
∴AP²＝x₀²＋y₀²＝(2x₂＋x₁)²＋x₁²＝x₁²＋4x₂²＋2x₁x₂
＝4＋4x₁x₂≤4＋4×2＝12,        10分
即AP≤2.
答：设计AM＝AN＝2 km时,工厂产生的噪声对居民的影响最小．   12分

解法五(几何法)：由运动的相对性,可使△PMN不动,点A在运动.
由于∠MAN＝60°,∴点A在以MN为弦的一段圆弧(优弧)上,   4分
设圆弧所在的圆的圆心为F，半径为R，
由图形的几何性质知：AP的最大值为PF＋R.  6分
在△AMN中,由正弦定理知：＝2R,
∴R＝,    8分
∴FM＝FN＝R＝,又PM＝PN,∴PF是线段MN的垂直平分线.
设PF与MN交于E，则FE²＝FM²－ME²＝R²－1²＝．
即FE＝，又PE＝.   10
∴PF＝,∴AP的最大值为PF＋R＝2.            
答：设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．       12分