Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c满足：f(-

1

4

+x)=f(-

1

4

-x)，且方程f（x）=2x的两根为-1和

3

2

．
（1）求函数y=(

1

3

)f(x)的单调减区间；
（2）设g（x）=f（x）-mx（m∈R），若g（x）在x∈[-1，+∞）上的最小值为-4，求m的值．

Answer 1

分析：（1）由条件可得-

b

2a

=-

1

4

，-1+

3

2

=-

b-2

a

，-1×

3

2

=

c

a

，由此解得：a、b、c的值，可得f（x）的解析式，根据复合函数的单调性，本题即求函数f（x）的增区间．再根据二次函数的性质求得f（x）的增区间．
（2）g（x）=2x²+（1-m）x-3的对称轴方程为x=

m-1

4

，再分

m-1

4

＜-1 和

m-1

4

≥-1两种情况，根据g（x）在x∈[-1，+∞）上的最小值为-4，求得m的值．

解答：解：（1）∵f(-

1

4

+x)=f(-

1

4

-x)，∴-

b

2a

=-

1

4

，即a=2b①．…（2分）
又∵方程f（x）=2x，即ax²+（b-2）x+c=0，它的两根为-1和

3

2

，∴-1+

3

2

=-

b-2

a

 ②，-1×

3

2

=

c

a

 ③．…（4分）
由①②③得：a=2，b=1，c=-3，∴f（x）=2x²+x-3．…（6分）
函数y=(

1

3

)f(x)的单调减区间，即函数f（x）的增区间．
∵f（x）在(-

1

4

，+∞)上是增函数，∴函数y=(

1

3

)f(x)在(-

1

4

，+∞)上是减函数，即函数y=(

1

3

)f(x)的单调减区间为(-

1

4

，+∞)． …（7分）
（2）g（x）=2x²+（1-m）x-3其对称轴方程为x=

m-1

4

，
①若

m-1

4

＜-1，即m＜-3时，g（x）_min=g（-1）=m-2；
由m-2=-4得 m=-2，不符合题意．  …（9分）
②若

m-1

4

≥-1，即m≥-3时，g(x)min=g(

m-1

4

)=-

(m-1)2

8

-3，
即-

(m-1)2

8

-3=-4，解得：m=1±2

2

符合题意，…（11分）
∴m=1±2

2

．…（12分）

点评：本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．