Question

已知定义在R上的函数f（x）的图象关于点(-

3

4

，0)对称，且满足f(x)=-f(x+

3

2

)，f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+…+f（2006）的值为______．

Answer 1

∵函数f（x）满足f(x)=-f(x+

3

2

)，
∴f（x+3）=f[(x+

3

2

)+

3

2

]=-f(x+

3

2

)=f（x）
即f（x）是一个以3为周期的周期函数
又∵函数f（x）的图象关于点(-

3

4

，0)对称，
∴f（x）=-f（-

3

2

-x），又函数f（x）满足f(x)=-f(x+

3

2

)，
∴f（-

3

2

-x）=f(x+

3

2

)
即f（x）=f（-x）
故函数f（x）为定义在R上的偶函数
又∵f（-1）=1，f（0）=-2，
∴f（1）=f（-1）=f（2）=1
∴f（3k）=-2，f（3k+1）=1，f（3k+2）=1，k∈Z
∴f（1）+f（2）+…+f（2006）=f（1）+f（2）=1+1=2
故答案为2