Question

已知函数f（x）=ax³+bx（a、b∈R），当x=

3

3

时取极小值-

2 3

3

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）如果直线y=x+m与曲线y=f（x）的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=ax³+bx（a、b∈R），当x=

3

3

时取极小值-

2 3

3

．故

f′( 3 3 )=0 f( 3 3 )=- 2 3 3

，解得a，b值后可得f（x）的解析式；
（2）若直线y=x+m与曲线y=f（x）的图象有三个不同的交点，即y=m与y=3x³-4x有三个交点，即函数y=3x³-4x的极大值和极小值分别在直线y=m两侧，构造不等式组，可得实数m的取值范围．

解答：解：（1）因为函数f（x）=ax³+bx（a、b∈R），当x=

3

3

时取极小值-

2 3

3

，
f′（x）=3ax²+b，
所以

f′( 3 3 )=0 f( 3 3 )=- 2 3 3

解得a=3，b=-3，
所以f（x）=3x³-3x；
（1）

y=x+m y=3x3-3x

⇒m=3x³-4x，
所以直线y=x+m与曲线y=f（x）的图象有三个交点就等价与y=m与y=3x³-4x有三个交点，
设g（x）=3x³-4x，则g′（x）=9x²-4，
令g′(x)=9x2-4=9(x+

2

3

)(x-

2

3

)=0，得x1=-

2

3

，x2=

2

3

列表得：

x	(-∞，- 2 3 )	- 2 3	(- 2 3 ， 2 3 )	2 3	( 2 3 ，+∞)
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↑	极大值 16 9	↓	极小值- 16 9	↑

故函数g（x）=3x³-4x的图象草图如图所示：

可知y=m与y=3x³-4x有三个交点要有三个交点，
则-

16

9

＜m＜

16

9

点评：本题考查的知识点是函数解析式的求解及常用方法，根的存在性及根的个数判断，熟练掌握导数与函数极值的关系是解答的关键．