Question

已知函数y=2+2sinxcosx+sinx+cosx，x∈[0 ， 

π

2

]，求函数的最大值和最小值．

Answer 1

分析：令t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），x∈[0 ， 

π

2

]，可得t∈[1，

2

]，2sinxcosx=t²-1，故函数y=t²+t+1，t∈[1，

2

]．再根据函数y在[1，

2

]上是增函数，求得它的最值．

解答：解：令t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），x∈[0 ， 

π

2

]，可得t∈[1，

2

]，2sinxcosx=t²-1．
故函数y=t²+t+1，t∈[1，

2

]．
显然，函数y在[1，

2

]上是增函数，
故当t=1时，函数y有最小值为 3，当t=

2

时，函数y取得最大值为3+

2

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，利用函数的单调性求函数的最值，属于中档题．