Question

（2008•成都二模）如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁⊥侧面ABB₁A₁，AC=AB=

2

，∠CAA₁=∠BAA₁=135°．
（1）求∠BAC的大小；
（2）若底面△ABC的重心为G，侧棱AA₁=4，求GC₁与平面A₁B₁C₁所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）作CO⊥AA₁交AA₁的延长线于点O，连接BO，则CO⊥平面ABB₁A₁，先证△OAC≌△BAO，则BO⊥AA₁，根据公式cos∠CAB=cos∠OAC•cos∠OAB可求出∠CAB的大小；
（2）以O为坐标原点，OB、OA、OC分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，求出向量

GC1

和平面A₁B₁C₁的法向量

n

，然后根据cos＜

n

，

GC1

＞=

n • GC1

| n |•| GC1 |

，从而求出GC₁与平面A₁B₁C₁所成角的大小．

解答：解：作CO⊥AA₁交AA₁的延长线于点O，连接BO，则CO⊥平面ABB₁A₁
根据△OAC≌△BAO，所以BO⊥AA₁，
（1）由cos∠CAB=cos∠OAC•cos∠OAB
知cos∠CAB=coa²45°=

1

2

∴∠CAB=60°
（2）以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz
则A（0，1，0），B（1，0，0），C（0，0，1）
∴G（

1

3

，

1

3

，

1

3

），B₁（1，4，0），A₁（0，5，0），C₁（0，4，1）
∴

GC1

=（-

1

3

，

11

3

，

2

3

）
设平面A₁B₁C₁的法向量为

n

=（x，y，z）
由

n • A1B1 =x-y=0 n • A1C1 =-y+z=0

⇒x=y=z
取n=（1，1，1）
∵cos＜

n

，

GC1

＞=

n • GC1

| n |•| GC1 |

=

- 1 3 + 11 3 + 2 3

3 • 14

=

2 42

21

∴GC₁与平面A₁B₁C₁所成角的大小为

π

2

-arccos

2 42

21

，即arcsin

2 42

21

．

点评：本题主要考查了用空间向量求直线与平面的夹角，同时考查了计算能力和论证推理的能力，属于中档题．