Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x²+y²=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由得a²=3b²，椭圆方程为x²+3y²=3b²，求出椭圆上的点到点Q的距离，利用配方法，确定函数的最大值，即可求得椭圆方程；
（2）假设M（m，n）存在，则有m²+n²＞1，求出|AB|，点O到直线l距离，表示出面积，利用基本不等式，即可确定三角形面积的最大值，从而可求点M的坐标．
解答：解：（1）由得a²=3b²，椭圆方程为x²+3y²=3b²
椭圆上的点到点Q的距离=
①当-b≤-1时，即b≥1，得b=1
②当-b＞-1时，即b＜1，得b=1（舍）
∴b=1
∴椭圆方程为
（2）假设M（m，n）存在，则有m²+n²＞1
∵|AB|=，点O到直线l距离
∴=
∵m²+n²＞1
∴0＜＜1，∴
当且仅当，即m²+n²=2＞1时，S_△AOB取最大值，
又∵
解得：
所以点M的坐标为或或或，△AOB的面积为．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的求解，考查基本不等式的运用，正确表示三角形的面积是关键．