Question

已知数列{a_n}  满足a_n+1=3a_n-4n+4，n∈N^*，且a₁=2．若b_n=a_n-2n+1，n∈N^*，
（1）求证：{b_n}为等比数列；
（2）求数列{a_n}  的前n项和．

Answer 1

分析：（1）根据a_n+1=3a_n-4n+4，n∈N^*得a_n+1-2（n+1）+1=3a_n-6n+3，从而b_n+1=3b_n（n∈N^*），根据等比数列的定义可得结论；
（2）先求出数列{a_n}的通项公式，然后将数列看成由等差数列和等比数列的和，利用分组求和法进行求和，从而可求出所求．

解答：解：（1）由a_n+1=3a_n-4n+4，n∈N^*得
a_n+1-2（n+1）+1=3a_n-6n+3又b_n=a_n-2n+1，n∈N^*，
故有b_n+1=3b_n（n∈N^*）则

bn+1

bn

=3（n∈N^*）
∴{b_n}为等比数列；
（2）∵{b_n}为等比数列，且b₁=1，公比为3，
∴b_n=3^n-1
∴a_n=2n-1+3^n-1
数列{a_n}的前n项和S_n=

n(1+2n-1)

2

+

1×(1-3n)

1-3

=n²+

3n-1

2

点评：本题主要考查了等比数列的判定，以及利用分组求和法，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．