Question

已知函数f（x）=ax²+（a+2）x+b．
（1）若a=0，当-1＜x＜1时，f（x）＞0恒成立，求实数b的取值范围；
（2）若f（0）=

9

4

，当x∈R时f（x）≥0恒成立，求函数g（a）=（a-4）（1+|a-1|）的值域．

Answer 1

分析：（1）首先求出f（x）=2x+b，然后根据一次函数的单调性求出函数的最小值，即可求出b的值；
（2）先求出b的值，再根据当x∈R时f（x）≥0恒成立得出1≤a≤4，然后化简g（a）=（a-2）²-4，进而根据二次函数的特点求出值域．

解答：解：（1）a=0时  f（x）=2x+b
当-1＜x＜1时  f（x）＞0恒成立
则f（-1）≥0（2分）
得-2+b≥0
解得b≥2（1分）
（2）若f(0)=

9

4

则b=

9

4

∴f(x)=ax2+(a+2)x+

9

4

（1分）
当a=0时f(x)=2x+

9

4

≥0不可能恒成立（x∈R）
当a≠0时要使f（x）≥0恒成立，则

a＞0 △≤0

  （2分）
解得：1≤a≤4（1分）
∴g（a）=（a-4）（1+a-1）=（a-2）²-4（1分）
当a=2时g（a）_min=-4
当a=4时，g（a）_max=0
∴值域[-4，0]（2分）

点评：本题考查了函数的值域以及函数恒成立问题，对于函数恒成立问题一般转化成求函数的最值问题，属于中档题．