题目内容
已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数
（1）若f（x）=2f′（x），求
的值；
（2）求函数F（x）=f（x）f'（x）+f2（x）的最大值和最小正周期．
（1）若f（x）=2f′（x），求
| 1+sin2x | cos2x-sinxcosx |
（2）求函数F（x）=f（x）f'（x）+f2（x）的最大值和最小正周期．
分析：（1）由f（x）=sinx+cosx=2f′（x），可求得tanx，将
转换为
即可求得答案；
（2）利用导数公式与三角函数间的关系式将F（x）化为F（x）=1+
sin（2x+
），利用正弦函数的性质即可求其最大值和最小正周期．
| 1+sin2x |
| cos2x-sinxcosx |
| 2tan2x+1 |
| 1-tanx |
（2）利用导数公式与三角函数间的关系式将F（x）化为F（x）=1+
| 2 |
| π |
| 4 |
解答：解：（1）∵f（x）=sinx+cosx=f′（x），
∴sinx+cosx=2cosx-2sinx，
∴cosx=3sinx，
∴tanx=
，
∴
=
=
=
=
．
（2）∵f′（x）=cosx-sinx，
∴F（x）=f（x）f′（x）+f2（x）
=cos2x-sin2x+1+2sinxcosx
=1+sin2x+cos2x
=1+
sin（2x+
）．
∴当2x+
=2kπ+
，即x=kπ+
（k∈Z）时，F（x）max=1+
，最小正周期T=
=π．
∴sinx+cosx=2cosx-2sinx，
∴cosx=3sinx，
∴tanx=
| 1 |
| 3 |
∴
| 1+sin2x |
| cos2x-sinxcosx |
| 2sin2x+cos2x |
| cos2x-sinxcosx |
| 2tan2x+1 |
| 1-tanx |
| ||
|
| 11 |
| 6 |
（2）∵f′（x）=cosx-sinx，
∴F（x）=f（x）f′（x）+f2（x）
=cos2x-sin2x+1+2sinxcosx
=1+sin2x+cos2x
=1+
| 2 |
| π |
| 4 |
∴当2x+
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 8 |
| 2 |
| 2π |
| 2 |
点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查三角函数间的关系式及正弦函数的性质，求得F（x）=1+
sin（2x+
）是关键，也是难点，属于中档题．
| 2 |
| π |
| 4 |
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