Question

甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过每小时C千米，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元.

(1)将全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出该函数的定义域.

(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？

Answer 1

解：(1)依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为,因此全程运输成本为y=(a+bv²)·=

(+bv)s.

又据题意0＜v≤c,故所求函数及定义域为y=(+bv)s,v∈(0,c］.

(2)∵s、a、b、v都是正数,

∴(+bv)s≥2s(当且仅当=bv,即v=时取“=”)

∴①若≤c,则v=时全程运输成本最小.

②若＞c,

∵(+bv)s-(+bc)s=(c-v)(a-bcv)及c-v≥0,且a＞bc²,即a-bcv≥a-bc²＞0.

∴(+bv)s≥(+bc)s(当且仅当v=c时取“=”).

∴v=c时，全程运输成本最小.