Question

已知数列{a_n}是首项a₁=1的等比数列，且a_n＞0，{b_n}是首项为l的等差数列，又a₅+b₃=21，a₃+b₅=13．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式
（2）求数列{

bn

2an

}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a₅+b₃=21，a₃+b₅=13求出数列{a_n}的公比，数列{b_n}的公差，从而求出数列的通项公式；
（2）根据（1）中求得的结果代入{

bn

2an

}中，应用错位相减法求出前n项和．

解答：解：（1）设{a_n}的公比为q，{b_n}的公差为d，则由已知条件得：

q4+1+2d=21 q2+1+4d=13

解之得：d=2，q=2或q=-2（舍去）
∴a_n=2^n-1，b_n=1+2（n-1）=2n-1

（2）由（1）知

bn

2an

=

2n-1

2n

∴sn=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-3

2n-1

 +

2n-1

2n

     ①
∴

1

2

sn=

1

22

+

3

23

+ …+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

       ②
①-②得：

1

2

sn=

1

2

+

2

22

+

2

23

 +…+

2

2n

-

2n-1

2n+1

即

1

2

sn=

1

2

+(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)-

2n-1

2n+1

=

1

2

+

1 2 [1-( 1 2 )n-1】

1- 1 2

-

2n-1

2n+1

=

1

2

+1-(

1

2

)n-1-

2n-1

2n+1

∴Sn=3-

2n+3

2n

点评：（1）考查等差等比数列的基本运算；（2）错位相减法主要考查学生的计算能力，好题，属中档题．