Question

已知定义在R上的函数y=f（x）满足f（2+x）=f（2-x），且f（x）是偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=2x-1，则x∈[-4，0]时f（x）的表达式f（x）=

 

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Answer 1

分析：利用函数的周期性解决本题．关键要得出函数在一个周期上的解析式，然后将这个区间上的解析式转化到所求的区间．注意奇偶性的应用．

解答：解：函数y=f（x）满足f（2+x）=f（2-x），
得出f（x+4）=f（x+2+2）=f（2-x-2）=f（-x）=f（x），
故该函数是周期为4的函数．
由于该函数又是偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=2x-1，
故当x∈[-2，0]时，f（x）=f（-x）=-2x-1，
当x∈[-4，-2]时，x+4∈[0，2]，因此f（x）=f（x+4）=2（x+4）-1=2x+7，
因此，x∈[-4，0]时f（x）的表达式f（x）=

2x+7(-4≤x≤-2) -2x-1(-2＜x≤0)

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故答案为：

2x+7(-4≤x≤-2) -2x-1(-2＜x≤0)

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点评：本题考查函数周期性和奇偶性的关系，考查函数周期性的确定，考查利用函数奇偶性写函数的解析式，考查分段函数求函数的解析式，属于中档题．