Question

（2007•上海模拟）设数列{a_n}是首项为0的递增数列，（n∈N），fn(x)=|sin

1

n

(x-an)|，x∈[a_n，a_n+1]满足：对于任意的b∈[0，1），f_n（x）=b总有两个不同的根．
（1）试写出y=f₁（x），并求出a₂；
（2）求a_n+1-a_n，并求出{a_n}的通项公式；
（3）设S_n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+（-1）^n-1a_n，求S_n．

Answer 1

分析：（1）由题意可得当n=1时，f₁（x）=|sin（x-a₁）|=|sinx|，结合对任意的b∈[0，1），f₁（x）=b总有两个不同的根可得a₂=π，代入可求f₁（x）a₂=π
（1）类比（1）的方法可分别求f₂（x），f₃（x），及a₂，a₃，a₄归纳可得a_n+1-a_n=nπ，从而利用叠加法可求
（3）当n=2k，k∈Z（4），S_2k=a₁-a₂+a₃-a₄+…+a_2k-1-a_2k，n=2k+1，S_2k+1=S_2k+a_2k+1两种情况讨论求解

解答：解：（1）∵a₁=0，当n=1时，f₁（x）=|sin（x-a₁）|=|sinx|，x∈[0，a₂]，…（2分）
又∵对任意的b∈[0，1），f₁（x）=b总有两个不同的根，∴a₂=π
∴f₁（x）=sinx，x∈[0，π]，a₂=π…（4分）
（1）由（1），f2(x)=|sin

1

2

(x-a2)|=|sin

1

2

(x-π)|=|cos

x

2

|，x∈[π，a3]（2）
∵对任意的b∈[0，1），f₁（x）=b总有两个不同的根，∴a₃=3π…（5分）       
  f3(x)=|sin

1

3

(x-a3)|=|sin

1

3

(x-3π)|=|sin

1

3

π|，x∈[3π，a4]
∵对任意的b∈[0，1），f₁（x）=b总有两个不同的根，∴a₄=6π…（6分）
由此可得a_n+1-a_n=nπ，…（8分）   
利用叠加可求得   an=

n(n-1)π

2

…（10分）
（3）当n=2k，k∈Z（4），S_2k=a₁-a₂+a₃-a₄+…+a_2k-1-a_2k（5）
=-[（a₂-a₁）+（a₄-a₃）+…+（a_2k-a_2k+1）]
=-[π+3π+5π+…+（2k-1）π]=-k2π=-

n2

4

π
∴Sn=-

n2

4

π…（13分）
当n=2k+1，k∈Z，S2k+1=S2k+a2k+1=-k2π+

(2k+1)2k

2

π=

(n-1)(n+1)

4

π
∴Sn=

(n-1)(n+1)

4

π…（16分）

点评：本题主要数列与三角函数是综合知识的应用，及由数列的递推公式求解数列的通项公式，叠加法的应用及数列求和公式的应用．