Question

已知函数f（x）=（-x²+ax）e^x（a∈R）在[-1，1]上单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

分析：可求得f′（x）=[-x²+（a-2）x+a]e^x，利用x∈[-1，1]时，f′（x）≥0即可求得a的取值范围．

解答：解：∵f（x）=（-x²+ax）e^x（a∈R），
∴f′（x）=[-x²+（a-2）x+a]e^x，令g（x）=-x²+（a-2）x+a，
又f（x）=（-x²+ax）e^x（a∈R）在[-1，1]上单调递增，
∴当x∈[-1，1]时，f′（x）≥0，
∴

g(-1)≥0 g(1)≥0

，即

-1+(2-a)+a≥0 -1+(a-2)+a≥0

，解得a≥

3

2

．
∴a的取值范围为：a≥

3

2

．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数g（x）=-x²+（a-2）x+a，得到

g(-1)≥0 g(1)≥0

是关键，考查理解与等价转化的能力，属于中档题．