Question

1．已知集合P={（x，y）|y²≤x，x，y∈R}，Q={（x，y）||x-a|+|y-a+1|≤1，x，y∈R}，若P∩Q≠∅，则实数a的最小值为-$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 分别求出集合P={（x，y）|y²≤x，x，y∈R}，Q={（x，y）||x-a|+|y-a+1|≤1，x，y∈R}对应的平面区域，数形结合，可得P∩Q≠∅时实数a的最小值．

解答 解：集合P={（x，y）|y²≤x，x，y∈R}表示的平面区域如下图阴影部分所示：

集合Q={（x，y）||x-a|+|y-a+1|≤1，x，y∈R}表示以（a，a-1）为中心，两条对角线与坐标垂直，边长为$\sqrt{2}$的正方形内的所有点，
若P∩Q≠∅，且实数a取最小值时，
（x-a）+（y-a+1）=1与y²=x相切，
即x+y-2a=0与y²=x相切，
将x+y-2a=0代入y²=x得y²+y-2a=0有且只有一解：
则△=1+8a=0，解得：a=-$\frac{1}{8}$，
故答案为：-$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查的知识点是交集及其运算，绝对值不等式，不等式关系对应的平面区域，综合性强，难度较大．