Question

（2012•贵州模拟）已知

a

=(2cosx+2

3

sinx，1)，

b

=(y，cosx)，且

a

∥

b

．
（I）将y表示成x的函数f（x），并求f（x）的最小正周期；
（II）记f（x）的最大值为M，a、b、c分别为△ABC的三个内角A、B、C对应的边长，若f(

A

2

)=M，且a=2，求bc的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用向量共线的条件，结合二倍角、辅助角公式，可得函数关系式，从而可得f（x）的最小正周期；
（II）先确定A，再利用余弦定理，结合基本不等式，即可求得结论．

解答：解：（I）因为

a

=(2cosx+2

3

sinx，1)，

b

=(y，cosx)，且

a

∥

b

．
所以2cos2x+2

3

sinxcos-y=0
即y=2cos2x+2

3

sinxcos=cos2x+

3

sin2x+1=2sin(2x+

π

6

)+1
所以f(x)=2sin(2x+

π

6

)+1，
又T=

2π

ω

=

2π

2

=π
所以函数f（x）的最小正周期为π；
（II）由（I）得f（x）的最大值M=3
于是由f(

A

2

)=M=3，可得2sin(A+

π

6

)+1=3，∴sin(A+

π

6

)=1，
因为A为三角形的内角，所以A=

π

3

由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得4=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc
解得bc≤4
于是当且仅当b=c=2时，bc的最大值为4．

点评：本题考查向量共线，考查函数的最值，考查余弦定理及基本不等式的运用，属于中档题．