Question

已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导函数f′(x)＜

1

2

，则关于x的不等式f(x)＜

x

2

+

1

2

的解集为

 

．

Answer 1

分析：根据条件构造函数g（x）=f（x）-

x

2

-

1

2

，然后利用导数研究函数的单调性和最值即可得到结论．

解答：解：设g（x）=f（x）-

x

2

-

1

2

，
则g'（x）=f'（x）-

1

2

，
∵f（x）的导函数f′(x)＜

1

2

，
∴g'（x））=f'（x）-

1

2

＜0，
即函数在定义域上单调递减，
∵g（1）=f（1）-

1

2

-

1

2

=1-

1

2

-

1

2

=0，
∴当x＞1时，g（x）＜g（1）=0，
∴不等式f(x)＜

x

2

+

1

2

的解集为（1，+∞），
故答案为：（1，+∞）．

点评：本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键，综合考查函数的性质．