Question

【题目】已知集合 为集合U的n个非空子集，这n个集合满足：①从中任取m个集合都有 成立；②从中任取个集合都有 成立．

（Ⅰ）若， ， ，写出满足题意的一组集合；

（Ⅱ）若， ，写出满足题意的一组集合以及集合；

（Ⅲ) 若， ，求集合中的元素个数的最小值．

Answer 1

【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)详见解析.

【解析】试题（Ⅰ）根据题意一一列举即可；（Ⅱ）根据题意一一列举即可；（Ⅲ）利用反证法进行证明.

试题解析：（Ⅰ） ， ， ， ．

（Ⅱ）， ， ， ,．

（Ⅲ）集合中元素个数的最小值为120个．

下面先证明若，

则， ， ．

反证法：假设，不妨设．

由假设，设，设，

则是中都没有的元素， ．

因为四个子集的并集为，

所以与矛盾，所以假设不正确．

若，且， ，

成立．则的个集合的并集共计有个．

把集合中120个元素与的3个元素的并集

建立一一对应关系，所以集合中元素的个数大于等于120.

下面我们构造一个有120个元素的集合：

把与 ()对应的元素放在异于的集合中，因此对于任意一个个集合的并集，它们都不含与对应的元素，所以．同时对于任意的个集合不妨为的并集，

则由上面的原则与对应的元素在集合中，

即对于任意的个集合的并集为全集．