题目内容

设函数 $数学公式$ ，m（x）=2lnx．．
（1）当p≥1时，证明：对任意x∈（1，+∞），f（x）＞m（x）恒成立；
（2）设g（x）= $数学公式$ ，若对任意x₁，x₂∈[1，e]，f（x₁）-m（x₁）＜g（x₂）成立，求实数p的取值范围．

（1）证明：令G（x）=f（x）-m（x）=px- $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，
令h（x）=px²-2x+p，
当p≥1时，h（x）=px²-2x+p，
其图象为开口向上的抛物线，
对称轴为 $\text{[math]}$
∴h（x）＞h（1）=2p-2＞0，
∴G'（x）在（1，+∞）内为单调递增函数，
G（x）＞G（1）=0，
即f（x）＞m（x）．
（2）解：∵ $\text{[math]}$ 在[1，e]上是减函数，
∴x=e时，g（x）_min=2；x=1时，g（x）_max=2e，
即g（x）∈[2，2e]．
①当P=0时，h（x）=-2x，
因为x＞0，所以h（x）＜0， $\text{[math]}$ ，
∴G（x）在（0，+∞）内是单调递减函数；
②当P＜0时，h（x）=px²-2x+p，
其图象为开口向下的抛物线，对称轴为x= $\text{[math]}$ ，
在（0，+∞），h（x）≤0恒成立，
所以，当p≤0时，G（x）在[1，e]上递减，
G（x）_max=G（1）=0＜2
③当0＜p＜1时，由x∈[1，e]，
得 $\text{[math]}$ ，
又当p=1时，G（x）在[1，e]上是增函数，
∴ $\text{[math]}$
④当p≥1时，h（x）=px²-2x+p，
其图象为开口向上的抛物线，
对称轴为 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴G（x）在[1，e]上为单调递增函数，
又g（x）在[1，e]上是减函数，
故只需G（x）_max＜g（x）_min，x∈[1，e]，
而 $\text{[math]}$ ，g（x）_min=2，
即 p（e- $\text{[math]}$ ）-2lne＜2，
解得1≤ $\text{[math]}$ ，
综上，p的取值范围是 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）令G（x）=px- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 令h（x）=px²-2x+p，当p≥1时，h（x）=px²-2x+p，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为 $\text{[math]}$ ，由此能够证明f（x）＞m（x）．
（2）由 $\text{[math]}$ 在[1，e]上是减函数，知g（x）∈[2，2e]．当P=0时，h（x）=-2x，G（x）在（0，+∞）内是单调递减函数；当P＜0时，h（x）=px²-2x+p，G（x）_max=G（1）=0＜2；当0＜p＜1时， $\text{[math]}$ ；当p≥1时， $\text{[math]}$ ．所以G（x）在[1，e]上为单调递增函数，由此能求出p的取值范围．
点评：本题考查利用导数求函数的最值及其应用，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意分类讨论思想的灵活运用．