Question

已知函数f（x）=

3x

x+3

，数列{x_n}的通项由x_n=f（x_n-1）（n≥2，n∈N⁺）确定．
（Ⅰ）求证：{

1

xn

}是等差数列； 
（Ⅱ）当x₁=

1

2

时，求x₁₀₀．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据x_n=f（x_n-1）=

3xn-1

xn-1+3

，两边取倒数，即可证得 {

1

xn

}是等差数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得

1

xn

=2+（n-1）×

1

3

=

n+5

3

，由此可求x₁₀₀．

解答：（Ⅰ）证明：∵x_n=f（x_n-1）=

3xn-1

xn-1+3

∴

1

xn

=

1

3

+

1

xn-1

∴

1

xn

-

1

xn-1

=

1

3

∴{

1

xn

}是等差数列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得

1

xn

=2+（n-1）×

1

3

=

n+5

3

∴x₁₀₀=

3

105

=

1

35

点评：本题考查等差数列的证明，考查通项的运用，两边取倒数是关键．