Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，有下面结论：
①AC∥平面CB₁D₁；
②AC₁⊥平面CB₁D₁；
③AC₁与底面ABCD所成角的正切值是

2

2

；
④AD₁与BD为异面直线．
其中正确的结论的序号是

 

．（把你认为正确的结论的序号都填上）

Answer 1

分析：利用线面平行，线面垂直和线面所成角的定义分别判断．

解答：解：①因为AC∩平面CB₁D₁=C，所以AC∥平面CB₁D₁错误，所以①错误．
②连结BC₁，A₁ C₁，则AC₁⊥B₁ D₁，AC₁⊥A₁ C₁，
因为B₁ D∩B₁ C=B₁ 
所以AC₁⊥平面CB₁D₁，所以②正确．
③因为AC₁在底面ABCD的射影为AC，所以∠C₁AC是AC₁与底面ABCD所成的角，
所以tan∠C1AC=

C1C

AC

=

1

2

=

2

2

，所以③正确．
④由异面直线的定义可知，AD₁与BD为异面直线，所以④正确．
故答案为：②③④．

点评：本题主要考查了空间直线和平面的位置关系的判断，以及线面所成角的求法，要求熟练掌握相关的判定定理．