Question

已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中|φ|＜

π

2

，若f(

π

2

)＜f(

π

6

)＜f(

π

4

)，则φ的取值范围是

-

π

6

＜φ＜

π

12

．

Answer 1

分析：先根据f(

π

2

)＜f(

π

6

)＜f(

π

4

)建立三角不等式，然后利用三角函数的性质解三角不等式，即可求出φ的取值范围．

解答：解：∵函数f（x）=sin（2x+φ），其中|φ|＜

π

2

，f(

π

2

)＜f(

π

6

)＜f(

π

4

)，
∴sin（2×

π

2

+φ）＜sin（2×

π

6

+φ）＜sin（2×

π

4

+φ），
即-sinφ＜

3

2

cosφ+

1

2

sinφ＜cosφ，
①当-sinφ＜

3

2

cosφ+

1

2

sinφ时，即

3

2

cosφ+

3

2

sinφ＞0，即

3

sin（φ+

π

6

）＞0，
∴2kπ＜φ+

π

6

＜π+2kπ，
∴-

π

6

+2kπ＜φ＜

5π

6

+2kπ，又|φ|＜

π

2

，
∴-

π

6

＜φ＜

π

2

，
②当

3

2

cosφ+

1

2

sinφ＜cosφ时，即sinφ＜（2-

3

）cosφ，
∵|φ|＜

π

2

，
∴cosφ＞0，则tanφ＜2-

3

=tan

π

12

，
又∵y=tanx在（-

π

2

，

π

2

）上单调递增，
∴φ＜

π

12

，
综合①②得φ的取值范围是：-

π

6

＜φ＜

π

12

．
故答案为：-

π

6

＜φ＜

π

12

．

点评：本题主要考查了正弦函数的单调性及其三角不等式的解法，同时考查了分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题．