题目内容
（2013•青岛一模）已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，满足
=
，函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间[0，
]上单调递增，在区间[
，
]上单调递减．
（Ⅰ）证明：b+c=2a；
（Ⅱ）若f(
)=cosA，证明：△ABC为等边三角形．
| sinB+sinC |
| sinA |
| 2-cosB-cosC |
| cosA |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
（Ⅰ）证明：b+c=2a；
（Ⅱ）若f(
| π |
| 9 |
分析：（Ⅰ）通过已知表达式，去分母化简，利用两角和与差的三角函数，化简表达式通过正弦定理直接推出b+c=2a；
（Ⅱ）利用函数的周期求出ω，通过f(
)=cosA，求出的值，利用余弦定理说明三角形是正三角形，即可．
（Ⅱ）利用函数的周期求出ω，通过f(
| π |
| 9 |
解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵
=
∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA-cosBsinA-cosCsinA
∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA
=2sinAsin（A+B）+sin（A+C）
=2sinA…（3分）
sinC+sinB=2sinA…（5分）
所以b+c=2a…（6分）
（Ⅱ）由题意知：由题意知：
=
，解得：ω=
，…（8分）
因为f(
)=sin
=
=cosA，A∈（0，π），所以A=
…（9分）
由余弦定理知：cosA=
=
…（10分）
所以b2+c2-a2=bc因为b+c=2a，所以b2+c2-(
)2=bc，
即：b2+c2-2bc=0所以b=c…（11分）
又A=
，所以△ABC为等边三角形．…（12分）
解：（Ⅰ）∵
| sinB+sinC |
| sinA |
| 2-cosB-cosC |
| cosA |
∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA-cosBsinA-cosCsinA
∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA
=2sinAsin（A+B）+sin（A+C）
=2sinA…（3分）
sinC+sinB=2sinA…（5分）
所以b+c=2a…（6分）
（Ⅱ）由题意知：由题意知：
| 2π |
| ω |
| 4π |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
因为f(
| π |
| 9 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
由余弦定理知：cosA=
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
| 1 |
| 2 |
所以b2+c2-a2=bc因为b+c=2a，所以b2+c2-(
| b+c |
| 2 |
即：b2+c2-2bc=0所以b=c…（11分）
又A=
| π |
| 3 |
点评：本题考查三角函数的化简求值，两角和与差的三角函数，正弦定理与余弦定理的应用，考查计算能力．
练习册系列答案
相关题目