Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的准线与x轴交于点M，
（1）若M点的坐标为（-1，0），求抛物线的方程；
（2）过点M的直线l与抛物线交于两点P、Q，若

FP

•

FQ

=0（其中F是抛物线的焦点），求证：直线l的斜率为定值．

Answer 1

分析：（1）把点M代入抛物线方程求得p，则抛物线方程可得．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）l的斜率为k．分别表示出

FP

和FQ

，根据

FP

•

FQ

=0，求得关于P，Q点坐标的方程，把直线l的方程与抛物线联立，根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，最后联立方程求得k，检验符合题意．

解答：解：（1）-

p

2

=-1，∴p=2，
∴抛物线方程为y²=4x；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）l的斜率为k．
∵

FP

•

FQ

=0，
∴(x1-

p

2

，y1)•(x2-

p

2

，y2)=0，x1x2-

p

2

(x1+x2)+

p2

4

+y 1y2=0，①
l的方程为y=k(x+

P

2

)，联立y²=2px，得k2x2+(pk2-2p)x+

k2p2

4

=0，
∴x1+x2=

2p-pk2

k2

，x1x 2=

p2

4

.②
又y1y2=k2[x1x2+

p

2

(x1+x2)+

p2

4

].③
联立①②③得k=±

2

2

.
经检验，k=±

2

2

时，l与抛物线交于两个点．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解此类题应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．