Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点为，点在椭圆上.

（1）设点到直线的距离为，证明：为定值；

（2）若是椭圆上的两个动点（都不与重合），直线的斜率互为相反数，求直线的斜率（结果用表示）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）点在椭圆上，得，化简，即可证明；（2）当时，则，直线的斜率一定存在.

设，直线的斜率为，则的方程为，即，与椭圆的方程，联立组成方程组，消去，由韦达定理得同理得，，即可求得的值

（1）由已知，得，所以，即

因为点在椭圆上，所以，即

又

所以为定值.

（2）当时，则，直线的斜率一定存在.

设，直线的斜率为，则的方程为，即，与椭圆的方程，联立组成方程组，消去，

整理得

由韦达定理，得，于是

根据直线的斜率为，将上式中的用代替，

得

于是

注意到得，于是

因此，直线的斜率为