Question

（2013•杭州一模）设Q为圆C：x²+y²+6x+8y+21=0上任意一点，抛物线y²=8x的准线为l．若抛物线上任意一点P到直线l的距离为m，则m+|PQ|的最小值为

41

-2

．

Answer 1

分析：先根据圆的方程求得圆心坐标和半径，抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，根据根据抛物线的定义可知，P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，根据图象可知当P，Q，F三点共线时，P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径．

解答：解：圆C：x²+y²+6x+8y+21=0 即 （x+3）²+（y+4）²=4，表示以C（-3，-4）为圆心，半径等于2的圆．
抛物线y²=8x的准线为l：x=-2，焦点为F（2，0），
根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，
进而推断出当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小为：
|FC|-r=

(2+3)2+(0-4)2

-2=

41

-2，
故答案为 

41

-2．

点评：本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想，属于中档题．