Question

已知函数f(x)=lg

a-x

1+x

，
（Ⅰ）若f（x）为奇函数，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在（-1，5]内有意义，求a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x）在（m，n）上的值域为（-1，+∞），求（m，n）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得f（x）+f（-x）=0对于定义域内的任意x都成立，即lg

a-x

1-x

+lg

a+x

1-x

=0，整理可求a
（Ⅱ）由题意可得，在（-1，5]上

a-x

1+x

＞0恒成立，从而可求a的范围
（Ⅲ）结合t=

1-x

1+x

=-1+

2

x+1

，y=lgt的单调性及复合函数的单调性可知y=f(x)=lg

1-x

1+x

是减函数，从而可得f（n）=-1，f（m）无意义，可求

解答：（Ⅰ）解：∵f（x）为奇函数
∴f（x）+f（-x）=0对于定义域内的任意x都成立
∴lg

a-x

1-x

+lg

a+x

1-x

=0
∴

(a-x)(a+x)

1-x2

=1
∴a=1…（4分）
（Ⅱ）解：∵若f（x）在（-1，5]内恒有意义，则在（-1，5]上

a-x

1+x

＞0
∵x+1＞0
∴a-x＞0
∴a＞x在（-1，5]上恒成立
∴a＞5…（10分）
（Ⅲ）∵x∈（-1，1）时，t=

1-x

1+x

=-1+

2

x+1

是减函数
y=lgt在定义域内是增函数（13分）
∴y=f(x)=lg

1-x

1+x

在（-1，1）上是减函数
∵f（x）在（m，n）上的值域为（-1，+∞），且函数单调递减
∴（m，n）⊆（-1，1）
∴函数f（x）在x=n处取得函数的最小值-1，
∴f(n)=lg

1-n

1+n

=-1，f（m）没有意义
∴

1-n

1+n

=

1

10

∴n=

9

11

，m=-1
∴（m，n）=(-1，

9

11

)…（16分）

点评：本题主要考查了奇函数的定义f（-x）=-f（x）的应用，函数的恒成立与函数的最值求解的相互转化，及利用函数的单调性求解函数的最值，属于函数知识的综合应用．