Question

已知函数f(x)=-lnx,x∈(0,e).曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线与x轴和y轴分别交于A、B两点，设O为坐标原点，求△AOB面积的最大值.

Answer 1

解:由已知f′(x)=-,所以曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线方程为y+lnt=-(x-t).

令y=0,得A点的横坐标为x_A=t(1-lnt),

令x=0,得B点的纵坐标为x_B=1-lnt,

当t∈(0,e)时，x_A＞0,x_B＞0,此时△AOB的面积S＝t(1-lnt)²,S′=(lnt-1)(lnt+1),

解S′＞0,得0＜t＜;解S′＜0，得＜t＜e.

所以(0,)是函数S＝t(1-lnt)²的增区间;(,e)是函数的减区间。

所以，当t=时△AOB的面积大，最大值为×（1-ln）²=.