Question

圆C的方程是（x+2）²+（y+1）²=R²，x轴被圆C截得的弦长为2

3

．
（1）求圆C的方程；
（2）直线l：y=-x+b交圆C于A、B，且AC⊥CB，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由圆的方程得到圆的圆心坐标，再由圆被x轴截得的弦长等于2

3

结合勾股定理求圆的半径，则圆的方程可求；
（2）由AC⊥CB，CA=CB=2求出圆心到直线l：y=-x+b的距离，由点到直线的距离公式求得b的值，则直线l的方程可求．

解答：解：（1）由圆C的方程是（x+2）²+（y+1）²=R²，得圆心C（-2，-1），且圆心到x轴的距离为1，
又x轴被圆C截得的弦长为2

3

，则半弦长为

3

，由勾股定理得：R=

12+( 3 )2

=2．
∴圆C的方程为：（x+2）²+（y+1）²=4；
（2）由AC⊥CB，CA=CB=2，可知△ABC为等腰直角三角形，则AB边上的高线为

2

，即圆心C（-2，-1）到直线
AB的距离等于

2

，由点到直线的距离公式得

|-2-1-b|

2

=

2

，解得：b=-1或b=-5．
∴所求的直线方程为y=-x-1或y=-x-5．

点评：本题考查了直线与圆的位置关系，训练了点到直线的距离公式的应用，涉及直线与圆的相交问题，常用弦心距、办弦及圆的半径之间的关系解决，是中档题．