题目内容

已知|
a
|=1，|
b
|=2，
a
与
b
的夹角为60°．
（1）求
a
+
b
与
a
的夹角的余弦值；
（2）当|
a
+t
b
|取得最小值时，试判断
a
+t
b
与
b
的位置关系，并说明理由．
分析：（1）先设
a
+
b
与
a
的夹角为θ，根据向量的数量积的定义先求
a
• 
b
，根据向量的数量积的性质求|
a
+
b
|，代入向量的夹角公式可求cosθ
（2）令根据向量的数量积的性质可得|
a
+t
b
|=
(
a
+t
b
)2
，整理可得关于t的二次函数，根据二次函数的性质可求
解答：解：（1）设
a
+
b
与
a
的夹角为θ，于是
a
•
b
=|
a
|•|
b
|cos60°=1，|
a
+
b
|=
(
a
+
b
)2
=
a
2+2
a
•
b
+
b
2
=
7
，于是cosθ=
(
a
+
b
)•
a
|
a
+
b
|•|
a
|
=
2
7
=
2
7
7
．
（2）令|
a
+t
b
|=
4t2+2t+1
=
4(t+
1
4
)2+
3
4
，
当且仅当t=-
1
4
时，取得最小值，此时(
a
+t
b
)•
b
=
a
•
b
+4t=0，
所以(
a
+t
b
)⊥
b
．
点评：本题主要考查了屏幕向量的基本运算，解决问题的关键是熟练运用向量数量积的性质：|
a
|=
a
2
，还有主要二次函数的性质在求解最值中的应用．
练习册系列答案
相关题目
已知|
a
|=1，|
b
|=
2
且
a
⊥(
a
-
b
)，则向量
a
与向量
b
的夹角是（　　）
A、30°B、45°
C、90°D、135°
已知|
a|
=1，|
b
|=2，
a
⊥(
a
+
b
)，则
a
与
b
夹角的度数为
 
．
已知|
a
|=1，|
b
|=
3
，且
a
，
b
的夹角为
π
6
，则|
a
-
b
|的值为
1
1
．
已知|
a
|=1，|
b
|=2，向量
a
与
b
的夹角为
2π
3
，
c
=
a
+2
b
，则
c
的模等于（　　）
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=1，b=2．
（1）若sin
A
2
=
1
4
，求sinB的值；
（2）若cosC=
1
4
，求△ABC的周长．

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