Question

已知函数f（x）=sinω²x+

3

sinωxsin（ωx+

π

2

）（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；     
（Ⅱ）求f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）求函数f（x）在区间[0，

2π

3

]上的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2ωx-

π

6

）+

1

2

，由周期公式可得答案；
（Ⅱ）f（x）=sin（2x-

π

6

）+

1

2

，由-

π

2

+2kπ2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ解之可得单调递增区间；
（Ⅲ）f（x）=sin（2x-

π

6

）+

1

2

，由0≤x≤

2π

3

，结合三角函数的单调性，逐步运算可得所求值得范围．

解答：解：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得：
f（x）=sinω²x+

3

sinωxsin（ωx+

π

2

）
=sinω²x+

3

sinωxcosωx=

1-cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx
=sin（2ωx-

π

6

）+

1

2

∵函数f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，
∴T=π=

2π

2ω

，解之可得ω=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=sin（2x-

π

6

）+

1

2

，
由-

π

2

+2kπ2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ可得
-

π

6

+kπx≤

π

3

+kπ，k∈Z
∴函数的单调增区间为[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]，k∈Z
（Ⅲ）∵f（x）=sin（2x-

π

6

）+

1

2

，0≤x≤

2π

3

，
∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

7π

6

，∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，
∴0≤sin（2x-

π

6

）+

1

2

≤

3

2

，
即f（x）的取值范围为[0，

3

2

]

点评：本题考查三角函数的公式的应用，涉及正弦函数的单调性和值域，属中档题．