Question

在平面直角坐标系xOy中，椭圆=1（a＞b＞0）的焦点为 F₁（-1，0），F₂（1，0），左、右顶点分别为A，B，离心率为，动点P到F₁，F₂的距离的平方和为6．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若，，Q为椭圆上位于x轴上方的动点，直线DM•CN，BQ分别交直线m于点M，N．
（i）当直线AQ的斜率为时，求△AMN的面积；
（ii）求证：对任意的动点Q，DM•CN为定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用动点P到F₁，F₂的距离的平方和为6，建立方程，化简可得P的轨迹方程；
（2）确定椭圆的方程，求出M、N的坐标，（ i）当直线AQ的斜率为时，直线方程与椭圆方程联立，表示出三角形的面积，即可求△AMN的面积；（ii）表示出DM，CN，计算DM•CN，可得定值．
解答：（1）解：设P（x，y），则，
即（x+1）²+y²+（x-1）²+y²=6，整理得，x²+y²=2，
所以动点P的轨迹方程为x²+y²=2．…（4分）
（2）解：由题意知，，解得，
所以椭圆方程为．  …（6分）
则，，设Q（x，y），y＞0，则，
直线AQ的方程为，令，得，
直线BQ的方程为，令，得，
（ i）当直线AQ的斜率为时，有，消去x并整理得，，解得或y=0（舍），…（10分）
所以△AMN的面积==．   …（12分）
（ii），，
所以．
所以对任意的动点Q，DM•CN为定值，该定值为．    …（16分）
点评：本题考查轨迹方程，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，综合性强．