Question

若函数f（x）=-tx²+2x+1（t＜0，t为常数），对于任意两个不同的x₁，x₂，当x₁，x₂∈[-2，2]时，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|（ k为常数，k∈R）成立，如果满足条件的最小正整数k等于4，则实数t的取值范围是

 

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Answer 1

分析：f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|（ k为常数，k∈R）成立，变为|-t（x₁+x₂）+2|≤k当x₁，x₂∈[-2，2]时，恒成立，如果满足条件的最小正整数k等于4得到|-t（x₁+x₂）+2|≤4，当x₁，x₂∈[-2，2]时，恒成立，求出t的范围即可．

解答：解：根由题意f（x）=-tx²+2x+1（t＜0，t为常数），对于任意两个不同的x₁，x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|（ k为常数，k∈R）成立，
∴|-t（x₁+x₂）+2|≤k当x₁，x₂∈[-2，2]时，恒成立，
∵x₁，x₂∈[-2，2]，任意两个不同的x₁，x₂，t＜0
∴-t（x₁+x₂）+2∈（4t+2，-4t+2）
∴|-t（x₁+x₂）+2|∈[0，-4t+2）
∴-4t+2＜k
∵满足条件的最小正整数k等于4，
∴-4t+2＜4
∴t＞-

1

2

，
∵t＜0，t为常数
∴-

1

2

＜t＜0
故答案为（-

1

2

，0）

点评：考查学生函数与方程的综合运用能力，以及理解不等式恒成立条件的能力．