Question

设f（x）=x²-ln（x+1）
（1）当x＞0时，求证：f（x）＜x³；
（2）当n∈N^*时，求证：

n

k=1

f(

1

k

)＜1+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

≤

5

4

-

1

2n(n+1)

．

Answer 1

分析：（1）由题意，证明f（x）＜x³恒成立，可以构造函数h（x）=x²-ln（1+x）-x³，将证明不等式恒成立问题转化为函数h（x）＜0恒成立的问题，可利用导数求出函数的单调区间，确定出函数f（x）=x²+2x-2ln（1+x）的最小值，若最小值大于等于0，则可得2ln（1+x）≤x²+2x成立
（2）由（1）知，f(

1

k

)＜

1

k3

，即得到

n

k=1

f(

1

k

)＜1+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

，
用放缩法1+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

≤

5

4

-

1

2n(n+1)

，也可用数学归纳法证明．

解答：解：（1）令h（x）=x²-ln（1+x）-x³
则h′(x)=2x-

1

x+1

-3x2=-

3x3+(x-1)2

x+1

，
当x＞0时，h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）上单调递减
又h（x）在x=0处连续，h（0）=0，
故当x＞0时，h（x）＜h（0）=0
即f（x）＜x³（7分）
（2）若k∈N^*时，∴

1

k

∈(0，+∞)
取x=

1

k

，得f(

1

k

)＜

1

k3

，

n

k=1

f(

1

k

)＜1+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

（10分）
用放缩法
当n=1时，1+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

≤

5

4

-

1

2n(n+1)

成立，
当n≥2时，

1

n3

=

1

n•n2

＜

1

n(n2-1)

=

1

(n-1)n(n+1)

=

1

2

[

1

(n-1)n

-

1

n(n+1)

]
1+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

＜

1

2

{(

1

1•2

-

1

2•3

)+(

1

2•3

-

1

3•4

)+…+[

1

(n-1)n

-

1

n(n+1)

]}
=1+

1

2

[

1

2

-

1

n(n+1)

]=

5

4

-

1

2n(n+1)

故得

n

k=1

f(

1

k

)＜1+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

≤

5

4

-

1

2n(n+1)

．（14分）

点评：本题考查导数在最值问题中的应用以及不等式证明问题，解题的关键是将不等式恒成立的问题转化为求函数的最值及利用放缩法证明不等式．