Question

若a、b∈R,α、β是方程x²+ax+b=0的两根,且|a|+|b|<1.求证:|α|<1且|β|<1.

Answer 1

证明:由韦达定理,得

∵|a|+|b|=|α+β|+|αβ|<1,

∴|α+β|<1－|αβ|.

∵|α+β|≥|α|－|β|,

∴|α|－|β|<1－|αβ|,

即|α|(1+|β|)<1+|β|.

∵1+|β|>0,

∴|α|<1.

同理可证|β|<1.

解析:

本题考查一元二次方程的根和绝对值不等式,由此应该联想到韦达定理和绝对值的性质.