Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，，设的内角平分线交的长轴于点．

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）求的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）先设，分别求出直线，的方程，再由角平分线的性质，得到，结合的取值范围即可得的取值范围；

（Ⅱ）分别将，表示成关于的关系式，两式相乘，得到关于变量的函数关系式，利用导数或基本不等式，即可求出的最大值．

（Ⅰ）设，则．

又，，

所以直线，的方程分别为，

．

由点到直线的距离公式得，

所以．

因为，，

所以，所以，

因此．

（Ⅱ）因为

，

，

所以

．

解法一：设，

由

，

得，所以在上单调递增，在上单调递减．

所以，

所以，当且仅当时取等号．

解法二：

，

当且仅当，即时取到最大值．

所以．