Question

【题目】函数，曲线在点处的切线在轴上的截距为．

（1）求；

（2）讨论的单调性；

（3）设，证明：．

Answer 1

【答案】(1) (2) 在上单调递增．(3)证明见解析

【解析】

（1）由题意知切点坐标为，切线方程为：，结合条件列方程即可得到结果；

（2）由（1）知，对求导，得，从而可知在上的单调性；

（3）欲证，即证．只需证．不妨设，由此可得．因此，欲证，只需证．

（1）由题意知切点坐标为．

对求导，得，从而．

所以切线方程为，令，得，解得．

（2）由（1）知，从而，对求导，得

，从而可知在上单调递增．

（3）（方法一）

由（1）知，故单调递减，

由（2）知单调递增，

当时， ， .

当时， ， .

故 ，所以

.

因为 所以

（方法二）令，解得．

从而，作商，得，

所以，从而．

所以．

当为偶数时，；

当为奇数时，．

故无论为奇数还是偶数，．

下只需证明．

当时，有，满足题意；

当时，．

故只需证，即证．

而当时，．

故不等式得证．

（方法三）要证，只需证，

只需证．易知在上单调递减，且．

若，则．

此时，，只需证，

只需证．此时，．

由（2）知．

若，则．

此时，，只需证．

只需证．此时，．

由（2）知，．

综上所述，成立．

所以，．

易知，，所以成立．

故原不等式得证．