Question

已知函数f(x)=cos(x-

2π

3

)-cosx(x∈R)．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）△ABC内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若f(B)=-

3

2

，b=1，c=

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两角差的正弦、余弦函数公式及特殊角的三角函数值把f（x）化为一个角的正弦函数，然后利用周期公式T=

2π

λ

即可求出f（x）的最小正周期；根据正弦函数的递增区间列出关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为函数f（x）的递增区间；
（Ⅱ）把x=B代入第一问求出f（x）的解析式，让其值等于-

3

2

，得到sin（B-

π

3

）的值，由B的范围求出B-

π

3

的范围，利用特殊角的三角函数值即可列出关于B的方程，求出方程的解得到B的度数，然后由b，c及cosB的值，利用余弦定理即可求出a的值．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=cos(x-

2π

3

)-cosx=

3

2

sinx-

3

2

cosx=

3

sin(x-

π

3

)．
∴函数f（x）的最小正周期为2π，
∵正弦函数的递增区间为[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，即2kπ-

π

2

≤x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，
∴2kπ-

π

6

≤x≤2kπ+

5π

6

，
则函数f（x）的递增区间为[2kπ-

π

6

，2kπ+

5π

6

]（k∈Z ）；（6分）
（Ⅱ）根据题意得：f(B)=

3

sin(B-

π

3

)=-

3

2

，
∴sin(B-

π

3

)=-

1

2

．
∵0＜B＜π，∴-

π

3

＜B-

π

3

＜

2π

3

，
∴B-

π

3

=-

π

6

，即B=

π

6

．        …（9分）
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，
∴1=a2+3-2×a×

3

×

3

2

，即a²-3a+2=0，
故a=1或a=2．     …（12分）

点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，以及余弦定理，灵活运用三角函数的恒等变换把f（x）的解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．