题目内容

设连续掷两次骰子得到的点数分别为m、n，令平面向量 $数学公式$ ， $数学公式$ ．
（Ⅰ）求使得事件“ $数学公式$ ”发生的概率；
（Ⅱ）求使得事件“ $数学公式$ ”发生的概率；
（Ⅲ）使得事件“直线 $数学公式$ 与圆（x-3）²+y²=1相交”发生的概率．

解：（I）由题意知，m∈{1，2，3，4，5，6}；n∈{1，2，3，4，5，6}，
故（m，n）所有可能的取法共6×6=36种（2分）
使得 $\text{[math]}$ ，即m-3n=0，
即m=3n，共有2种（3，1）、（6，2），
所以求使得 $\text{[math]}$ 的概率 $\text{[math]}$ （4分）
（Ⅱ） $\text{[math]}$ 即m²+n²≤10，
共有（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（3，1）6种
使得 $\text{[math]}$ 的概率 $\text{[math]}$ （8分）
（Ⅲ）由直线与圆的位置关系得， $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，
共有 $\text{[math]}$ ，5种，
所以直线 $\text{[math]}$ 与圆（x-3）²+y²=1相交的概率 $\text{[math]}$ （12分）
分析：（I）利用乘法计数原理求出所有可能的取法，利用向量垂直的充要条件得到m-3n=0，通过列举法得到得事件“ $\text{[math]}$ ”发生基本事件个数，利用古典概型的概率求出求出值．
（II）利用向量模的公式将事件 $\text{[math]}$ ”转化为m²+n²≤10，通过列举法得到该事件包含的基本事件个数，利用古典概型的概率求出求出值．
（III）由直线与圆的位置关系将事件“直线 $\text{[math]}$ 与圆（x-3）²+y²=1相交”转化为 $\text{[math]}$ ，通过列举法得到该事件包含的基本事件个数，利用古典概型的概率求出求出值．
点评：求事件的概率，应该先判断出事件所属的概率模型，然后选择合适的概率公式，关键是求出基本事件的个数，常用的方法有：列举法、列表法、排列组合法、列树状图的方法．