Question

（2012•闵行区一模）某地政府为改善居民的住房条件，集中建设一批经适楼房．用了1400万元购买了一块空地，规划建设8幢楼，要求每幢楼的面积和层数等都一致，已知该经适房每幢楼每层建筑面积均为250平方米，第一层建筑费用是每平方米3000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加80元．
（1）若该经适楼房每幢楼共x层，总开发费用为y=f（x）万元，求函数y=f（x）的表达式（总开发费用=总建筑费用+购地费用）；
（2）要使该批经适房的每平方米的平均开发费用最低，每幢楼应建多少层？

Answer 1

分析：（1）确定每幢经适楼房从下到上各层的总建筑费用构成以75为首项，2 为公差的等差数列，利用总开发费用=总建筑费用+购地费用，可得函数表达式；
（2）由（1）知经适楼房每平方米平均开发费用为：g（x）=

f(x)

8×250x

×10000=40（x+

175

x

+74)，利用基本不等式即可得到结论．

解答：解：（1）由已知，每幢经适楼房最下面一层的总建筑费用为：3000×250=750000元=75（万元），
从第二层开始，每幢每层的建筑总费用比其下面一层多：80×250=20000元=2（万元），
每幢经适楼房从下到上各层的总建筑费用构成以75为首项，2 为公差的等差数列，（2分）
根据总开发费用=总建筑费用+购地费用，可得函数表达式为：y=f（x）=8[75x+

x(x-1)

2

×2]+1400=8x²+592x+1400； （6分）
（2）由（1）知经适楼房每平方米平均开发费用为：g（x）=

f(x)

8×250x

×10000=40（x+

175

x

+74)≥40（2

175

+74）≈4018（元）         （12分）
当且仅当x=

175

x

，即x≈13.2时等号成立，
但由于x∈N₊，验算：当x=13时，g（x）≈4018，当x=14时，g（x）≈4020．
答：该经适楼建为13层时，每平方米平均开发费用最低．         （14分）

点评：本题考查函数模型的构建，考查等差数列，考查基本不等式的运用，解题的关键是确定函数的模型，属于中档题．