Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：①对任意的x，y∈R，都有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＞0．
求证：（1）对任意的x∈R，都有f(

1

x

)=-f(x)；
（2）判断f（x）在（-∞，0）上的单调性．

Answer 1

分析：（1）利用已知条件通过赋值法x=y=1，换元法（用

1

x

代替y）证明所证等式．
（2）利用函数的单调性的定义，直接证明即可．

解答：解：（1）证明：令x=y=1，则有f（1）=f（1）+f（1）⇒f（1）=0．
对任意x＞0，用

1

x

代替y，有f(x)+f(

1

x

)=f(x•

1

x

)=f(1)=0，∴f(

1

x

)=-f(x)．
（2）f（x）在（-∞，0）上是减函数．
取x₁＜x₂＜0，则

x1

x2

＞1，∴f(

x1

x2

)＞0，
∵f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f(

1

x2

)=f(

x1

x2

)＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-∞，0）上为减函数．

点评：本题考查抽象函数的应用，函数的单调性的判断与证明，赋值法与换元法的应用，考查转化思想与计算能力．