Question

已知等比数列{a_n}的首项a₁=2，公比q=3，S_n是它的前n项和，求证：。

Answer 1

证明：由已知，得等价于，
即3ⁿ≥2n+1，(*)
用数学归纳法证明．
①当n=1时，左边=3，右边=3，所以(*)成立；
②假设当n=k时，(*)成立，即3^k≥2k+1，
那么当n=k+1时，3^k+1=3×3^k≥3(2k+1)=6k+3≥2k+3=2(k+1)+1，
所以当n=k+1时，(*)成立，
综合①②，得3ⁿ≥2n+1成立，
所以。