题目内容

已知函数f（x）=4cosxsin（x- $数学公式$ ）+ $数学公式$ ．
（1）求函数f（x）在区间[ $数学公式$ ， $数学公式$ ]上的值域；
（2）在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，若角C为锐角，f（C）= $数学公式$ ，且c=2，求△ABC面积的最大值．

解：（1）f（x）=4cosxsin（x- $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ =sin2x- $\text{[math]}$ cos2x=2sin（2x- $\text{[math]}$ ），…4分
由 $\text{[math]}$ ≤x≤ $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，∴得函数f（x）的值域为[1，2]．…6分
（2）由f（C）= $\text{[math]}$ ，有sin（2C- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
∵C为锐角，∴2C- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴C= $\text{[math]}$ ．…9分
∵c=2，∴由余弦定理得：a²+b²-ab=4，
∵a²+b²≥2ab，∴4=a²+b²-ab≥ab．
∴S_△ABC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，
∴当a=b，即△ABC为正三角形时，△ABC的面积有最大值 $\text{[math]}$ ．…13分．
分析：（1）利用差角的正弦公式、辅助角公式化简函数，结合正弦函数的性质，可得函数f（x）在区间[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]上的值域；
（2）先求出C，再利用余弦定理，结合基本不等式，即可求得△ABC面积的最大值．
点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．