题目内容

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各条棱长均为3，长为2的线段MN的一个端点M在AA₁上运动，另一端点N在底面ABC上运动，则MN的中点P的轨迹（曲面）与正三棱柱共顶点A的三个面所围成的几何体的体积为________．

$\text{[math]}$
分析：由题设中的条件可以判断出MN的中点P的轨迹（曲面）与正三棱柱共顶点A的三个面所围成的几何体是一个半径为1的球的一部分，故由球的体积公式求即可
解答：由题意知，∠MAN=90°，再由P是中点，知AP= $\text{[math]}$ MN=1，故MN的中点P的轨迹（曲面）是一个球面的一部分，此球以A球心，1为半径
由题意MN的中点P的轨迹（曲面）与正三棱柱共顶点A的三个面所围成的几何体此球的体积的 $\text{[math]}$
故其体积为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故答案为 $\text{[math]}$
点评：本题考查球的体积与表面积，解题的关键是根据题中的条件确定出所围成的几何体是一个球的一部分且能根据正三棱柱的几何特征及此几何体的几何特征出其体积正好是相应球的体积的 $\text{[math]}$ ，本题考查了空间想像能力．

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如图：在正三棱柱ABC-A₁ B₁ C₁中，AB=

=a，E，F分别是BB₁，CC₁上的点且BE=a，CF=2a．
（Ⅰ）求证：面AEF⊥面ACF；
（Ⅱ）求三棱锥A₁-AEF的体积．

如图在正三棱柱ABC-A₁ B₁ C₁中，底面边长为

（1）设侧棱长为1，求证A B₁⊥B C₁；
（2）设A B₁与B C₁成60⁰角，求侧棱长．

如图，在正三棱柱ABC-A₁ B₁ C₁中，AA₁=4，AB=2，M是AC的中点，点N在AA₁上，AN=

．
（1）求BC₁与侧面AC C₁ A₁所成角的正弦值；
（2）证明：MN⊥B C₁；
（3）求二面角C-C₁B-M的平面角的正弦值，若在△A₁B₁C₁中，

，求x+y的值．

如图：在正三棱柱ABC-A₁ B₁ C₁中，AB= $数学公式$ =a，E，F分别是BB₁，CC₁上的点且BE=a，CF=2a．
（Ⅰ）求证：面AEF⊥面ACF；
（Ⅱ）求三棱锥A₁-AEF的体积．

如图：在正三棱柱ABC-A₁ B₁ C₁中，AB=

=a，E，F分别是BB₁，CC₁上的点且BE=a，CF=2a．
（Ⅰ）求证：面AEF⊥面ACF；
（Ⅱ）求三棱锥A₁-AEF的体积．