Question

（Ⅰ）已知 f（x）=

2

3x-1

+k 是奇函数，求常数k的值．；
（Ⅱ）已知函数f（x）=x|x-m|（x∈R）且f（4）=0．
①求实数m的取值．
②如图，作出函数f（x）的图象并写出函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）确定函数的定义域关于原点对称，再利用f （x）为奇函数，可得(

2

3x-1

+k)+(

2

3-x-1

+k)=0，从而可求常数k的值；
（Ⅱ）①利用函数f（x）=x|x-m|（x∈R）且f（4）=0，可得4×|4-m|=0，从而可得m=4
②f（x）=x|x-4|=

(x-2)2-4，x≥4 -(x-2)2+4，x＜4

，可作出函数的图象，由图象可得函数f（x）的单调区间．

解答：解：（Ⅰ）定义域：（-∞，0）∪（0，+∞）
 若 f （x）为奇函数，则 
(

2

3x-1

+k)+(

2

3-x-1

+k)=0
∴k=-

1

3x-1

-

1

3-x-1

=-

1

3x-1

+

3x

3-x-1

=1
（Ⅱ）①∵函数f（x）=x|x-m|（x∈R）且f（4）=0．
∴4×|4-m|=0
∴m=4
②f（x）=x|x-4|=

(x-2)2-4，x≥4 -(x-2)2+4，x＜4

图象如图，由图象可得
函数f（x）的单调增区间：（-∞，2），（4，+∞）
函数f（x）的单调减区间：（2，4）

点评：本题重点考查函数的奇偶性，考查分段函数的图象，考查利用图象确定函数的单调性，属于基础题．