题目内容
（2013•辽宁一模）在△ABC中，a2+b2+c2=2
absinC，则△ABC的形状是（ ）
| 3 |
分析：利用余弦定理和已知条件可得a2+b2=ab(cosC+
sinC)，化为cos(C-
)=
，再利用基本不等式的性质即可得出．
| 3 |
| π |
| 3 |
| a2+b2 |
| 2ab |
解答：解：由余弦定理得a2+b2-c2=2abcosC，
又∵a2+b2+c2=2
absinC，
将上两式相加得a2+b2=ab(cosC+
sinC)，
化为cos(C-
)=
≥
=1，当且仅当a=b时取等号．
∴cos(C-
)=1，
∵C∈（0，π），∴(C-
)∈(-
，
)．
∴C-
=0，解得C=
，又a=b，
∴△ABC是正三角形．
故选D．
又∵a2+b2+c2=2
| 3 |
将上两式相加得a2+b2=ab(cosC+
| 3 |
化为cos(C-
| π |
| 3 |
| a2+b2 |
| 2ab |
| 2ab |
| 2ab |
∴cos(C-
| π |
| 3 |
∵C∈（0，π），∴(C-
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∴C-
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴△ABC是正三角形．
故选D．
点评：熟练掌握余弦定理、基本不等式的性质、等边三角形的判定是解题的关键．
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