Question

如图1，平面四边形ABCD关于直线AC对称，∠A=60°，∠C=90°，CD=2，把△ABD沿BD折起（如图2），使二面角A-BD-C的余弦值等于，对于图2，完成以下各小题：
（1）求A，C两点间的距离；
（2）证明：AC⊥平面BCD；
（3）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值。

Answer 1

解：（Ⅰ）取BD的中点E，连接AE，CE，
由，得：，
∴就是二面角A-BD-C的平面角，
∴，
在，

，
∴AC=2。
（Ⅱ）由，
∴，
∴，
∴，
又，
∴AC⊥平面BCD；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，
∴平面ACE⊥平面ABD，平面ACE∩平面ABD=AE，
作，则CF⊥平面ABD，
∠CAF就是AC与平面ABD所成的角，
∴。