题目内容
在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB=2，EF=
，CD=
．若
•
=13，则
•
的值为 ．
| 2 |
| 3 |
| AC |
| BD |
| AD |
| BC |
分析：利用两个向量的加减法及其几何意义可得
=
，平方可得
•
=
．又由
•
=13，可得
•
+
•
=13+
•
+
•
．代入
•
=（
-
）•（
-
），化简求得结果．
| EF |
| ||||
| 2 |
| AB |
| DC |
| 1 |
| 2 |
| AC |
| BD |
| OC |
| OD |
| OA |
| OB |
| OB |
| OC |
| OA |
| OD |
| AD |
| BC |
| OD |
| OA |
| OC |
| OB |
解答：
解：如图所示：设AB∩DC=O，∵
=
+
+
=
+
，
=
+
+
=
+
，
两式相加可得
=
．
∵AB=2，EF=
，CD=
，平方可得 2=
∴
•
=
．
又∵
•
=（
-
）•（
-
）=
•
-
•
-
•
+
•
=13，
∴
•
+
•
=13+
•
+
•
．
∴
•
=（
-
）•（
-
）=
•
-
•
-
•
+
•
=
•
+
•
-
•
-
•
=13+
•
+
•
-
•
-
•
=13+
•
+
•
=13+
•
=13+
=13.5，
故答案为：13.5．
解：如图所示：设AB∩DC=O，∵| AB |
| AE |
| EF |
| FB |
| EF |
| ||||
| 2 |
| DC |
| DE |
| EF |
| FC |
| EF |
| ||||
| 2 |
两式相加可得
| EF |
| ||||
| 2 |
∵AB=2，EF=
| 2 |
| 3 |
4+3+2
| ||||
| 2 |
| AB |
| DC |
| 1 |
| 2 |
又∵
| AC |
| BD |
| OC |
| OA |
| OD |
| OB |
| OC |
| OD |
| OB |
| OC |
| OA |
| OD |
| OA |
| OB |
∴
| OC |
| OD |
| OA |
| OB |
| OB |
| OC |
| OA |
| OD |
∴
| AD |
| BC |
| OD |
| OA |
| OC |
| OB |
| OC |
| OD |
| OB |
| OD |
| OA |
| OC |
| OA |
| OB |
=
| OC |
| OD |
| OA |
| OB |
| OB |
| OD |
| OA |
| OC |
| OB |
| OC |
| OA |
| OD |
| OB |
| OD |
| OA |
| OC |
=13+
| OB |
| DC |
| OA |
| CD |
| DC |
| AB |
| 1 |
| 2 |
故答案为：13.5．
点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．
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